Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，點P（m，6）在第一象限，且P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）圖象上的一點，OP與x軸正半軸的夾角α的正弦值滿足：5sin²α-7sinα+2.4=0，求m的值及此反比例函數(shù)的解析式．（根據(jù)2014年九年級期末試卷第18題改編）

Answer 1

分析 由5sin²α-7sinα+2.4=0，變形為$（sinα-\frac{3}{5}）•（sinα-\frac{4}{5}）=0$，從而得出$sinα=\frac{3}{5}$或$sinα=\frac{4}{5}$；過點P作PE⊥x軸于點E，則可得PE=6，0E=m，在Rt△POE中根據(jù)$sinα=\frac{3}{5}$或$sinα=\frac{4}{5}$，求出OP，繼而根據(jù)勾股定理求得m的值，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式．

解答 解：過點P作PE⊥x軸于點E，則可得PE=6，0E=m，
∵5sin²α-7sinα+2.4=0，
∴$（sinα-\frac{3}{5}）•（sinα-\frac{4}{5}）=0$，
∴$sinα=\frac{3}{5}$或$sinα=\frac{4}{5}$，
當(dāng)$sinα=\frac{3}{5}$時，則sinα=$\frac{6}{OP}$=$\frac{3}{5}$
∴OP=10，
在RT△POE中，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=8，
∴m=8，此時，k=6×8=48，
∴$y=\frac{48}{x}$；
當(dāng)$sinα=\frac{4}{5}$時，則sinα=$\frac{6}{OP}$=$\frac{4}{5}$
∴OP=$\frac{15}{2}$，由勾股定理得：m=$\frac{9}{2}$，此時，k=6×4.5=27，
∴$y=\frac{27}{x}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、勾股定理及同角的三角函數(shù)關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出OP的長度．