Question

6．如圖，⊙O的弦AB、CD交于點E，點A是$\widehat{CD}$的中點，連接AC、BC，延長DC到點P，連接PB．
（1）若PB=PE，判斷PB與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）若AC²=2AE²，求證：點E是AB的中點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A是$\widehat{CD}$的中點求出∠AFE=90°，求出∠OAE+∠AED=90°，根據(jù)∠OAE=∠OBA，∠PEB=∠PBE推出∠OB+∠PBE=90°，即∠OBP=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△ACE∽△ABC，得出比例式$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，求出AB=2AE，即可得出答案．

解答 解：（1）PB與⊙O相切，
理由是：連接OA、OB，OA交CD于F，

∵點A是$\widehat{CD}$的中點，
∴OA⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∴∠OAE+∠AED=90°，
∵OA=OB，PB=PE，
∴∠OAE=∠OBA，∠PEB=∠PBE，
∵∠AED=∠PEB，
∴∠OB+∠PBE=90°，即∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB與⊙O相切；

（2）∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACE=∠ABC，
∵∠CAE=∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC²=AE•AB，
∵AC²=2AE²，
∴AE•AB=2AE²，
∴AB=2AE，
∴E為AB的中點．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，切線的性質，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．