Question

2．已知：正方形ABCD和RT△BEF，BE=EF，G是DF中點，判斷EG和CG的關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 連接AC、BD相交于點O，取BF的中點M，連接OG、EM、MG，由G為DF的中點，O為BD的中點，M為BF的中點，想辦法證明△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．

解答 解：結(jié)論：EG=CG且EG⊥CG．
理由：連接AC、BD相交于點O，取BF的中點M，連接OG、EM、MG，如圖，

∵G為DF的中點，O為BD的中點，M為BF的中點，
∴OG∥BF，GM∥OB，
∴四邊形OGMB為平行四邊形，
∴OG=BM，GM=OB，
而EM=BM，OC=OB，
∴EM=OG，MG=OC，
∵∠DOG=∠GMF，
而∠DOC=∠EMF=90°，
∴∠EMG=∠GOC，
∴△MEG≌△OGC，
∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，
又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，
∴EG=CG且EG⊥CG．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．