Question

如圖：已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4）．二次函數(shù)y=-

1

6

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且與x軸的交點(diǎn)為E、F．點(diǎn)P在線(xiàn)段EF上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，直線(xiàn)OH交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，連接AD．
（1）求b、c的值及點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上時(shí)，求證：OP=CD；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)時(shí)，能否將△AOP繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后使得△AOP的兩個(gè)頂點(diǎn)落在x軸上方的拋物線(xiàn)上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出b、c，即可得解；
（2）表示出PO、PC，再根據(jù)同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG，然后求出△AOP和△PCG全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可求得；
（3）分三種情況分別討論，①當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段OC上，因?yàn)镺A=AB，△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，則這兩個(gè)三角形全等，求得OP=BD．②點(diǎn)P在線(xiàn)段CF上，通過(guò)△AOP與三角形DBA相似，以及△AOP與△OCD全等即可求得；③點(diǎn)P在線(xiàn)段OE上通過(guò)△AOP與三角形DBA相似，以及△AOP與△OCD全等即可求得．
（4）設(shè)O′的坐標(biāo)為（x，y），則P′（x，y-2），A′（x+4，y），然后將P′、A′代入拋物線(xiàn)的解析式，求得x、y的值，最后通過(guò)三角形O′MG與三角形MQH全等即可求得．

解答：（1）解：把（0，4），（4，4）分別代入y=-

1

6

x²+bx+c中，
得

c=4 - 1 6 ×42+4b+c=4

，
解得

b= 2 3 c=4

；
令y=0得-

1

6

x²+

2

3

x+4=0，
∴x₁=2

7

+2，x₂=-2

7

+2；
∴E（-2

7

+2，0），F(xiàn)（2

7

+2，0）

（2）證明：∵正方形OABC，
∴OA=OC，∠AOP=∠OCD=90°，
∴∠OAP+∠APO=90°，
∵OH⊥AP，
∴∠COD+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠COD，
在△AOP與△OCD中

∠AOP=∠OCD=90° ∠OAP=∠COD OA=OC

，
∴△AOP≌△OCD（AAS），
∴OP=CD．

（3）解：設(shè)P（t，0）①當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段OC上時(shí)，如原圖所示；
∵∠OAP＜45°，∠BAD＜45°
∵若△AOP∽△ABD，AO=AB，
∴OP=BD，
∴OP=BD=CD=2，
∴t=2
∴P₁（2，0）．

②點(diǎn)P在線(xiàn)段CF上時(shí)，如圖1所示：
∵∠ADB＞∠ODC，
∵∠APO=∠ODC，
∴∠ABD＞∠APO，
∴若△AOP∽△ABD，則

AO

DB

=

OP

AB

，
在△AOP與△OCD中

∠AOP=∠OCD=90° ∠ODC=∠APO OA=OC

∴△AOP≌△OCD（AAS），
∴OP=CD，
∴DB=PC=t-4，
∴

4

t-4

=

t

4

，
解得t=2-2

5

（舍去）或t=2+2

5

，
∴P₂（2+2

5

，0）．

③點(diǎn)P在線(xiàn)段OE上時(shí)，如圖2所示；
∵∠COD+∠ODC=90°，∠HOP+∠APO=90°，∠COD=∠HOP，
∴∠ODC=∠APO，
∵∠ODC＞∠ADB，
∴∠APO＞∠ADB，
∴若△AOP∽△ABD，則

AO

DB

=

OP

AB

，
在△AOP與△OCD中

∠AOP=∠OCD=90° ∠ODC=∠APO OA=OC

∴△AOP≌△OCD（AAS），
∴OP=CD，
∴DB=PC=4-t，
∴

4

4-t

=

-t

4

，
解得t=2+2

5

（舍去）或t=2-2

5

，
∴P₃（2-2

5

，0）．


（4）（2，2），（1

9

16

，3

1

16

），（-

1

16

，

41

16

）；
解：如圖3所示：設(shè)△AOP繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′P′，且P′、A′兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=-

1

6

x²+

2

3

x+4上，
設(shè)O′（x，y），則P′（x，y-2），A′（x+4，y）
∴

- 1 6 x2+ 2 3 x+4=y-2 - 1 6 (x+4)2+ 2 3 x(x+4)+4=y

，
解得

x=-1 1 2 y=4 5 8

，
作MG⊥O′A′于G，MH⊥OC于H，設(shè)M（a，b），
∵△O′MG≌△MOH，
∴O′G=MH=b，MG=OH=a，
∴

b-a=1 1 2 a+b=4 5 8

，
解得

a=1 9 16 b=3 1 16

，
∴M（1

9

16

，3

1

16

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．