Question

3．矩形ABCD中，AD=5，AB＜4，將矩形ABCD折起來，使A、C兩頂點(diǎn)重合，若折痕EF=$\sqrt{6}$，求AB的長．

Answer 1

分析 如圖所示：設(shè)AB=x，由勾股定理得；AC=$\sqrt{{x}^{2}+25}$．由翻折的性質(zhì)可知OC=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$，然后依據(jù)AAS證明Rt△AOF≌Rt△CPE，從而可求得OE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由△ABC∽△EOC可求得x=$\sqrt{5}$．即AB=$\sqrt{5}$．

解答 解：如圖所示：

設(shè)AB=x，由勾股定理得；AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+25}$．
由翻折的性質(zhì)可知OC=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$，EF⊥AC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，∠FAO=∠ECO．
在Rt△AOF和Rt△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠FEC}\\{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△CPE．
∴OE=OF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∵∠OCE=∠BCA，∠B=∠EOC=90°，
∴△ABC∽△EOC．
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{OE}{OC}$，即$\frac{x}{5}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}}$．
解得：x=$\sqrt{5}$．
∴AB=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．