Question

17．若方程x²+2ax+2a²-1=0至少有一個正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)方程x²+2ax+2a²-1=0至少有一個正根，則方程一定有兩個實(shí)數(shù)根，即△≥0，關(guān)于x的方程x²+2ax+2a²-1=0至少有一個正根?（1）當(dāng)方程有兩個相等的正根，（2）當(dāng)方程有兩個不相等的根，①若方程的兩個根中只有一個正根，一個負(fù)根或零根，②若方程有兩個正根，結(jié)合二次方程的根的情況可求．

解答 解：△=（2a）²-4×1×（2a²-1）=-4a²+4，
（1）當(dāng)方程有兩個相等的正根時，△=0，此時a=±1，
若a=1，此時方程x²+2x+1=0的根x=-1不符合條件，舍去，
若a=-1，此時方程x²-2x+1=0的根x=1符合條件；
（2）當(dāng)方程有兩個根時，△＞0可得-1＜a＜1，
①若方程的兩個根中只有一個正根，一個負(fù)根或零根，則有2a²-1≤0，
解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
而a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時不合題意，舍去．
 所以-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$符合條件；
②若方程有兩個正根，則$\left\{\begin{array}{l}{-2a＞0}\\{2{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
綜上，-1≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：-1≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用以及一元二次方程根的應(yīng)用，熟練掌握根的判別式及分類討論思想的運(yùn)用是關(guān)鍵．