Question

18．如圖（1），△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD所在直線高BE所在的直線的交點

（1）請你猜想BH和AC的關系，并說明理由；
（2）若將圖（1）中的∠A改成鈍角，請你在圖（2）中畫出該題的圖形，此時（1）中的結論還成立嗎？請說明理由（注：一個三角形中有兩個內角相等，那么這兩個內角所對的邊也相等）．

Answer 1

分析 （1）根據條件可以得出△BDH≌△ADC就可以得出BH=AC；
（2）先根據條件畫出圖形，再證明△BDH≌△ADC就可以得出結論．

解答 解：
（1）BH=AC．

理由：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=∠BAD，
∴BD=AD．
在△BDH和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DAC}\\{BD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC；
（2）成立，BH=AC．

理由：如圖2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠AEH=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，∠CBE+∠DHB=90°，
∴∠DHB=∠C．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=∠BAD，
∴BD=AD．
在△BDH和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHD=∠C}\\{BD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．