Question

如圖，已知AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，點G為上一點，GE⊥AB，垂足為點E，交AC于點D，過點C的切線與AB的延長線交于點F，與EG的延長線交于點P，連接AG．

（1）求證：△PCD是等腰三角形；

（2）若點D為AC的中點，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周長和AG的長．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析

（2）△PCD的周長為3；AG=6

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OC，由PF為切線可得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，則∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根據(jù)對頂角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；

（2）連結(jié)OD，BG，在Rt△COF中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出OC=2，由于∠FOC=90°，∠F=30°，所以∠FOC=60°，由三角形外角性質(zhì)可知∠1=∠2=30°，則∠PCD=90°﹣∠1=60°，從而△PCD為等邊三角形；再由D為AC的中點，由垂徑定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可得OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周長為3；然后在Rt△ADE中，可得DE=AD=，AE=DE=，由AB為直徑得到∠AGB=90°，再證明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可計算出AG．

試題解析：（1）連結(jié)OC，如圖，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，

∵GE⊥AB，

∴∠GEA=90°，

∴∠2+∠ADE=90°，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠PCD=∠ADE，

而∠ADE=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴△PCD是等腰三角形；

（2）連結(jié)OD，BG，如圖，

在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，

∴OF=2OC，即OB+2=2OC，

而OB=OC，

∴OC=2，

∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，

∴△PCD為等邊三角形，

∵D為AC的中點，

∴OD⊥AC，

∴AD=CD，

在Rt△OCD中，OD=OC=1，

CD=OD=，

∴△PCD的周長為3；

在Rt△ADE中，AD=CD=，

∴DE=AD=，

AE=DE=，

∵AB為直徑，

∴∠AGB=90°，

而∠GAE=∠BAG，

∴Rt△AGE∽Rt△ABG，

∴AG：AB=AE：AG，

∴AG2=AE•AB=×4=6，

∴AG=6．

考點：1、切線的性質(zhì)；2、等腰三角形的判定；3、相似三角形的判定與性質(zhì)；4圓周角定理