Question

如圖，已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與AB，BC相交于點D、E，過點E的切線與AC相交于點F．
（1）求證：EF⊥AC；
（2）當⊙O的半徑為2時，求EF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先求出AC∥OE，根據(jù)切線的性質(zhì)推出EF⊥OE，即可得出答案；
（2）求出等邊三角形OBE，求出BE，求出CE，解直角三角形求出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B=60°，
∴∠OEB=∠C=60°，
∴AC∥OE，
∵⊙O切EF于E，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；

（2）解：∵OB=OE，∠B=60°，
∴△OBE是等邊三角形，
∴BE=OB=OE=2，
∵BC=6，
∴CE=6-2=4，
在Rt△EFC中，∠EFC=90°，∠C=60°，
∴EF=CE×sin60°=4×sin60°=2

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，解自三角形，等邊三角形的性質(zhì)的應用，綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．