Question

3．如圖，在Rt△ABC中，以直角邊AC為直徑作⊙O與斜邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BC邊上，BE=CE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）延長ED與CA的延長線交于點(diǎn)F，若tan∠F=$\frac{3}{4}$，求sin∠B．

Answer 1

分析 （1）連接OD，CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODC=∠OCD，∠EDC=∠ECD，等量代換得到∠EDO=90°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件設(shè)CE=3a，CF=4a，根據(jù)勾股定理得到EF=5a，根據(jù)切割線定理得到AF=a，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$a，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OD，CD，
∵∠ABC=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵BE=CE．
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDC+∠ODC=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴設(shè)CE=3a，CF=4a，
∵∠ECF=90°，
∴EF=5a，
∵DE=CE=3a，
∴BC=6a，
∴DF=2a，
∵DF是⊙O的切線，
∴DF²=AF•CF，
∴AF=a，
∴AC=3a，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$a，
∴sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，切割線定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．