Question

13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D，F(xiàn)是AB邊上的兩點(diǎn)，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，連接EF，∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若sinB=$\frac{1}{2}$，求∠FEC．

Answer 1

分析 （1）首先連接OE，由在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)G⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A，易得EF平分∠BFG，繼而證得OE∥FG，證得OE⊥BC，則可得BC是⊙O的切線；
（2）由sinB=$\frac{1}{2}$，得到∠B=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BOE=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OFE=∠OEF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OE，
∵在△ABC中，∠C=90°，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠BGF=∠C=90°，
∴FG∥AC，
∴∠OFG=∠A，
∴∠OFE=$\frac{1}{2}$∠OFG，
∴∠OFE=∠EFG，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴∠OEF=∠EFG，
∴OE∥FG，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；

（2）∵sinB=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴∠BOE=60°，
∵OF=OE，
∴∠OFE=∠OEF，
∵∠BOE=∠OFE+∠OEF=60°，
∴∠OEF=30°，
∴∠FEC=60°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．