Question

20．如圖，直線y=x-4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將拋物線y=$\frac{1}{3}{x^2}$+bx+c向上平移2$\frac{1}{12}$個(gè)單位長度，再向右平移|m|（m＜0）個(gè)單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）點(diǎn)M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO=45°時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別代入x=0、y=0求出與之對(duì)應(yīng)的y、x值，即求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再拋物線解析式中y=0求出x值即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖形平移的性質(zhì)找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P在△ABC內(nèi)即可得出關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍；
（3）過點(diǎn)B作BE⊥BC交x軸于點(diǎn)E，通過角的計(jì)算找出點(diǎn)M為直線BE與拋物線的交點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BE的解析式，聯(lián)立直線BE與拋物線的解析式成方程組，解方程組即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
將點(diǎn)A（4，0）、B（0，-4）代入y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{1}{3}×16+4b+c}\\{-4=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4．
當(dāng)y=0時(shí)，有$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4=0，
解得：x₁=-3，x₂=4．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0）．
（2）∵y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$x-4=$\frac{1}{3}$$（x-\frac{1}{2}）^{2}$-4$\frac{1}{12}$，
∴原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-4$\frac{1}{12}$）．
∵將點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，-4$\frac{1}{12}$）向上平移2$\frac{1}{12}$個(gè)單位長度，再向右平移|m|（m＜0）個(gè)單位長度得到點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$+|m|，-2）．
∵點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，
∴點(diǎn)P在線段AB的上方．
當(dāng)y=-2時(shí)，有x-4=-2，
解得：x=2，
∴$\frac{1}{2}$+|m|＜2，
解得：-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
∴若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，m的取值范圍為-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
（3）過點(diǎn)B作BE⊥BC交x軸于點(diǎn)E，如圖所示．
∵A（4，0），B（0，-4），
∴∠ABO=45°，
∵∠MBA+∠CBO=45°，BC⊥BE，
∴∠MBA=∠EBA，
∴直線BE與拋物線的交點(diǎn)為點(diǎn)M．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，0）（n＞0），
∵∠BCO=∠ECB，∠BOC=∠EBC=90°，
∴△BCO∽△ECB，
∴$\frac{OC}{BC}=\frac{BC}{EC}$．
∵B（0，-4），C（-3，0），E（n，0），
∴OC=3，EC=n-（-3）=n+3，BC=$\sqrt{[0-（-3）]^{2}+（-4-0）^{2}}$=5，
∴$\frac{3}{5}=\frac{5}{n+3}$，
解得：n=$\frac{16}{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)n=$\frac{16}{3}$是分式方程$\frac{3}{5}=\frac{5}{n+3}$的解，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{16}{3}$，0）．
設(shè)直線BE的解析式為y=kx-4，
將點(diǎn)E（$\frac{16}{3}$，0）代入y=kx-4中，
得：0=$\frac{16}{3}$k-4，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直線BE的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-4．
聯(lián)立直線BE與拋物線解析式成方程組，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-4}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{1}{3}x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-4}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{39}{12}}\\{y=-\frac{25}{16}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{39}{12}$，-$\frac{25}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）找出關(guān)于m的不等式；（3）找出點(diǎn)M的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．