Question

9．如圖，海中有一個(gè)小島B，它的周圍14海里內(nèi)有暗礁，在小島正西方有一點(diǎn)A測(cè)得在北偏東60°，方向上有一燈塔C，燈塔C在小島B北偏東15°方向上20海里處，漁船跟蹤魚(yú)群沿AC方向航行，每小時(shí)航行10$\sqrt{2}$海里．
（1）如果漁船不改變航向繼續(xù)航行，有沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）求漁船從A點(diǎn)處航行到燈塔C，需要多少小時(shí)？（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AC于H，根據(jù)余弦的概念求出BH，比較即可判斷；
（2）根據(jù)正切的概念求出AH，求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)漁船的速度計(jì)算即可．

解答 解：（1）漁船不改變航向繼續(xù)航行，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．
作BH⊥AC于H，
由題意得，∠CAB=30°，∠ABC=105°，
則∠ABH=60°，∠HBC=45°，
∴BH=BC×cos∠HBC=10$\sqrt{2}$，
∵10$\sqrt{2}$＞14，
∴漁船不改變航向繼續(xù)航行，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)；
（2）HC=BH=10$\sqrt{2}$，
AH=$\frac{BH}{tan∠CAB}$=10$\sqrt{6}$，
∴AC=AH+HC=10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{6}$，
則漁船從A點(diǎn)處航行到燈塔C，需要的時(shí)間為：（10$\sqrt{2}$+10$\sqrt{6}$）÷10$\sqrt{2}$=1+$\sqrt{3}$，
答：漁船從A點(diǎn)處航行到燈塔C，需要（1$+\sqrt{3}$）小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．