Question

4．如圖，已知：拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D為頂點，連結(jié)BC、AC．
（1）求拋物線解析式及點D的坐標；
（2）在拋物線上B、D之間是否存在一點G，使S_{四邊形CDGB}=4S_△DGB？若存在，求出G點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若M為拋物線上對稱軸右側(cè)的一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，使以C、M、N為頂點的三角形與△BDE相似，求出滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A、B的坐標代入拋物線解析式得到關(guān)于b、c的方程組，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）連接BC，求出直線BC的解析式，設(shè)直線BC與對稱軸相交于點F，然后求出DF，再求出△BCD的面積，然后求出△BDG的面積，設(shè)過點G與y軸平行的直線相交于點H，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，再表示出GH，然后根據(jù)三角形的面積列方程求解即可得到點G的橫坐標，再求解即可；
（3）求出BC的長，過點B作BP⊥BC交CM的延長線于P，過點P作PQ⊥x軸于Q，根據(jù)點B、C、D的坐標判斷出BC、CD與y軸的夾角都是45°，從而判斷出∠BCD=90°，再求出BC∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BCP=∠CMN，再分兩種情況求出△BCP和△BDE相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BP，再求出BQ、PQ，然后分別寫出點P的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線CP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以，拋物線的解析式為，y=x²-2x-3；

（2）連接BC，
令x=0，則y=-3，
所以，點C（0，-3），
易求直線BC的解析式為y=x-3，
∵拋物線的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4；
∴D（1，-4），對稱軸為直線x=1，
設(shè)直線BC與對稱軸相交于點F，
x=1時，y=1-3=-2，
所以，點F（1，-2），
所以，DF=-2-（-4）=-2+4=2，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∵S_{四邊形CDGB}=4S_△DGB，
∴S_△DGB=$\frac{1}{3}$S_△BCD=$\frac{1}{3}$×3=1，
設(shè)過點G與y軸平行的直線相交于點H，直線BD的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
所以，直線BD的解析式為y=2x-6，
設(shè)G（x，x²-2x-3），
則GH=（2x-6）-（x²-2x-3）=-x²+4x-3，
所以，S_△BDG=$\frac{1}{2}$×（-x²+4x-3）×（3-1）=-x²+4x-3=1，
整理得，x²-4x+4=0，
解得x₁=x₂=2，
y=2²-2×2-3=4-4-3=-3，
所以，點G（2，-3）；

（3）由勾股定理得，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
如圖，過點B作BP⊥BC交CM的延長線于P，
∵B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴BC、CD與y軸的夾角都是45°，
∴∠BCD=90°，
又∵MN⊥CD，
∴BC∥MN，
∴∠BCP=∠CMN，
∵以C、M、N為頂點的三角形與△BDE相似，
∴以B、C、P為頂點的三角形與△BDE相似，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BE}{ED}$或$\frac{BP}{BC}$=$\frac{DE}{BE}$，
即$\frac{BP}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-1}{4}$或$\frac{BP}{3\sqrt{2}}$=$\frac{4}{3-1}$，
解得BP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或BP=6$\sqrt{2}$，
過點P作PQ⊥x軸于Q，
∵∠OBC=45°，
∴∠PBQ=45°，
①當BP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時，PQ=BQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以，OQ=OB+BQ=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
所以，點P（$\frac{9}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線CP的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}k+b=-\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以，直線CP的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
所以，點M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
②當BP=6$\sqrt{2}$時，PQ=BQ=6$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6，
所以，OQ=OB+BQ=3+6=9，
所以，點P（9，-6），
設(shè)直線CP的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=-6}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以，直線CP的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{5}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{32}{9}}\end{array}\right.$，
∴點M（$\frac{5}{3}$，-$\frac{32}{9}$），
綜上所述，存在點M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（$\frac{5}{3}$，-$\frac{32}{9}$），使以C、M、N為頂點的三角形與△BDE相似．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，坐標與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）把問題轉(zhuǎn)化為求△BDG的面積是解題的關(guān)鍵，（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論．