Question

8．如圖，將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C'，使點A'落在∠ACB的外角平分線CD上，連結(jié)AA'．
（1）判斷四邊形ACC'A'的形狀，并說明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC=$\frac{12}{13}$，求CB'的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定定理（有一組對邊平行且相等的四邊形是平四邊形）推知四邊形ACC'A'是平行四邊形．又對角線平分對角的平行四邊形是菱形推知四邊形ACC'A'是菱形．
（2）通過解直角△ABC得到AC、BC的長度，由（1）中菱形ACC'A'的性質(zhì)推知AC=AA′，由平移的性質(zhì)得到四邊形ABB′A′是平行四邊形，則AA′=BB′，所以CB′=BB′-BC．

解答 解：（1）四邊形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性質(zhì)得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
則四邊形ACC'A'是平行四邊形．
∴∠ACC′=∠AA′C′，
又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，
∴CD也平分∠AA′C′，
∴四邊形ACC'A'是菱形．

（2）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=$\frac{12}{13}$，
∴cos∠BAC=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{12}{13}$，即$\frac{24}{AC}$=$\frac{12}{13}$，
∴AC=26．
∴由勾股定理知：BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2{6}^{2}-2{4}^{2}}$=10．
又由（1）知，四邊形ACC'A'是菱形，
∴AC=AA′=26．
由平移的性質(zhì)得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，則四邊形ABB′A′是平行四邊形，
∴AA′=BB′=26，
∴CB′=BB′-BC=26-10=16．

點評 本題考查了四邊形綜合題，需要掌握平移的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)等知識點．解答（1）題時，往往誤認為四邊形ACC'A'是平行四邊形，豈不知還要根據(jù)已知條件繼續(xù)證得該四邊形是菱形，屬于易錯題．