Question

7．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱作商高定理．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，那么矩形KLMJ的面積為110．

Answer 1

分析 延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，可得四邊形AOLP是正方形，然后求出正方形的邊長，再求出矩形KLMJ的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．

解答 解：如圖，延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，
則四邊形OALP是矩形．
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BOF}&{\;}\\{∠ACB=∠OBF}&{\;}\\{BC=BF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，
邊長AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴矩形KLMJ的面積為10×11=110．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵．