Question

15．在平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G，H分別為AD，BC的中點，求證：EF和GH互相平分．

Answer 1

分析 首先連接BG、DH，由在平行四邊形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，利用AAS證明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，證明四邊形BHDG是平行四邊形，得出對角線互相平分OG=OH，OB=OD，求出OE=OF，結(jié)論得出結(jié)論．

解答 證明：連接BG、DH，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEB=∠CFD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵G、H分別為AD、BC的中點，
∴DG=BH，
∴四邊形BHDG是平行四邊形，
∴OG=OH，OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF，
即EF、GH互相平分．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．