Question

3．已知正方形ABCD和正方形CEFG，連結(jié)AF交BC于點(diǎn)O，點(diǎn)P是AF的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥DG于H，CD=2，CG=1．
（1）如圖1，點(diǎn)D、C、G在同一直線上，點(diǎn)E在BC邊上，求PH的長；
（2）把正方形CEFG繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在AF上時，求CO的長；
②如圖3，當(dāng)DG=$\sqrt{7}$時，求PH的長．

Answer 1

分析 （1）先判斷出四邊形APGF是梯形，再判斷出PH是梯形的中位線，得到PH=$\frac{1}{2}$（fg+ad）；
（2）①先判斷出△COE∽△AOB，得到AO是CO的2倍，設(shè)出CO，表示出BO，AO，再用勾股定理計算，②先找出輔助線，再判斷出△ARD≌△DSC，△CSG≌△GTF，求出AR+FT，最后用梯形中位線即可．

解答 解：（1）PH⊥CD，AD⊥CD，
∴PH∥AD∥FG，
∵點(diǎn)P是AF的中點(diǎn)，
∴PH是梯形APGF的中位線，
∴PH=$\frac{1}{2}$（FG+AD）=$\frac{3}{2}$，
（2）①∵∠CEO=∠B=90°，∠COE=∠AOB，
∴△COE∽△AOB，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，
設(shè)CO=x，
∴AO=2x，BO=2-x，
在△ABO中，根據(jù)勾股定理得，4+（2-x）²=（2x）²，
∴x=$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$或x=$\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$（舍），
∴CO=x=$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$．
②如圖3，

分別過點(diǎn)A，C，F(xiàn)作直線DG的垂線，垂足分別為R，S，T，
∵∠ADR+∠CDS=90°，∠CDS+∠DCS=90°，
∴∠ADR=∠DCS，
∵∠ADR=∠CSD=90°，
∵AD=CD
∴△ARD≌△DSC，
∴AR=DS，
同理：△CSG≌△GTF，
∴SG=FT，
∴AR+FT=DS+SG=DG=$\sqrt{7}$，
同（1）的方法得，PH是梯形ARTF的中位線，
∴PH=$\frac{1}{2}$（AR+FT）=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了梯形的中位線的求法，三角形全等的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出梯形，難點(diǎn)是作輔助線．