Question

15．如圖，四邊形BFCD為平行四邊形，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)．
（1）求證：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AAS證明△ADE≌△FCE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BFCD是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BD=CD，根據(jù)菱形的判定，可得答案．

解答 （1）證明∵AE是DC邊上的中線，
∴AE=FE，
∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE．
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FCE}\\{∠DAE=∠CFE}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF=DA．
（2）解：四邊形BFCD是菱形；理由如下：
∵CD是△ABC的中線，
∴D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴BD=CF，
∵AB∥CF，
∴BD∥CF，
∴四邊形BFCD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=CD，
∴四邊形BFCD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．