Question

8．矩形OABC在平面直角坐標系內(nèi)的位置如圖所示，點O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，點B的坐標為（5，4）．將矩形OABC沿某直線1對折，使點B落在坐標軸上的點F處，且BF與1的交點Q恰好落在過點B的拋物線y=x²+mx+14上，則點F的坐標為（1，0）或（3，0）或（0，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 本題要分兩種情況進行討論：
①當F在x軸上時，過Q作x軸的垂線，那么不難得出Q點的縱坐標為AB的一半即為2，然后將其代入拋物線的解析式中即可求出Q點的坐標，然后根據(jù)三角形的中位線定理即可求得AM，進而求得AF，即可求得F的坐標．
②當F在y軸上時，過Q作x軸的垂線，那么不難得出Q點的橫坐標為OA的一半即為2.5，然后將其代入拋物線的解析式中即可求出Q點的坐標，然后根據(jù)梯形的中位線定理即可求得OF，即可求得F的坐標．

解答 解：∵點B的拋物線y=x²+mx+14上，點B的坐標為（5，4）．
∴4=25+5m+14，
解得m=-7，
∴拋物線的解析式為y=x²-7x+14，
①當點F在x軸上時，過Q作QM⊥x軸于M，
由題意可知QM=$\frac{1}{2}$AB=2，則Q點的縱坐標為2，
代入y=x²-7x+14得，x²-7x+14=2，
∴x=3或x=4
∴Q點的坐標為（3，2）或（4，2），
當Q點坐標為（3，2）時，如圖1，OM=3，MA=2，F(xiàn)A=4，
∴F（1，0）；
當Q點坐標為（4，2）時，如圖1，OM=4，MA=1，F(xiàn)A=2，
∴F（3，0）；
②當點F在y軸上時，由題意可知OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，則Q點的橫坐標為$\frac{5}{2}$，
代入y=x²-7x+14得，y=$\frac{25}{4}$-$\frac{35}{2}$+14=$\frac{11}{4}$，
∴Q點的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$），
∴QM=$\frac{11}{4}$，
∵QM=$\frac{1}{2}$（OF+AB），
∴OF=2QM-AB=2×$\frac{11}{4}$-4=$\frac{3}{2}$，
∴F（0，$\frac{3}{2}$）；
綜上，點F的坐標為（1，0）或（3，0）或（0，$\frac{3}{2}$）；
故答案為（1，0）或（3，0）或（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題著重考查了矩形的性質(zhì)、圖形翻折變換、中位線定理以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)知識等重要知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．