Question

如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上，已知：AC=4，BC=3．
（1）當(dāng)四邊形DEFG為正方形時(shí)，求DG的長；
（2）△ADG與△GCF能全等嗎？若能，請你求出DG的長；若不能，請說明原因；
（3）△ADG與△BEF能全等嗎？若能，請你求出DG的長；若不能，請說明原因．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定,矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先由面積求出CH，再證明△GFC∽△ABC，得出比例式，由GF=DG求出DG的長；
（2）由△ADG≌△GCF時(shí)，DG=CF，AD=CG，AG=GF，再由△FEB∽△ACB得出比例式求出DG的長；
（3）由題意推出不成立．

解答：解：（1）過C作CH⊥AB于H，交GF于M，如圖所示：
設(shè)DG=x，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴GF=DG=x，
∵∠C=90°，
∴AB=

32+42

=5，
∵S△ABC=

1

2

×AB×CH=

1

2

×AC×BC，
∴CH=

AC×BC

AB

=

4×3

5

=

12

5

，
∵GF∥DE，∴△GFC∽△ABC，
∴

CM

CH

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
解得  x=

60

37

，即DG=

60

37

；
（2）能；當(dāng)△ADG≌△GCF時(shí)，DG=CF，AD=CG，AG=GF，設(shè)DG=CF=y，
則BF=3-y；
∵∠FEB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△FEB∽△ACB中，
∴

EF

BF

=

AC

AB

，即

y

3-y

=

4

5

，
解得  y=

4

3

；
即DG=

4

3

；
（3）不能，
∵DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∠A=∠BFE，∠AGD=∠FBE
雖有四組條件，但不對應(yīng)，要使△ADG與△BEF全等，
須使AD=EF，則AD=DG，即須使∠A=45°，
由AC=4，BC=3知，∠A不可能等于45°，
∴△ADG與△BEF不可能全等．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定；證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．