Question

5．如圖，矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°≤α≤90°）得到△AD′C′，且AC′與BC交于E．
（1）當(dāng)α=15°時，求證：AB=BE；
（2）求旋轉(zhuǎn)過程中邊DC掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）由于AB=$\sqrt{3}$，AD=3，可得∠CAB=60°，結(jié)論顯然；
（2）畫出圖形，旋轉(zhuǎn)過程中邊DC掃過的面積就是兩個扇形面積之差，這兩個扇形面積都是四分之一圓的面積，且半徑分別為AC、AD．

解答 解：（1）

∵矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CAB=60°，
∵∠CAC'=15°，
∴∠EAB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE；
（2）如圖2，

設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中邊DC掃過的面積為S，
∵AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{扇形ADD'}=\frac{1}{4}π•A{D}^{2}$=$\frac{9}{4}π$，
${S}_{扇形ACC'}=\frac{1}{4}π•A{C}^{2}$=3π，
∴S=S_扇形ADD'-S_扇形ACC'=$\frac{3}{4}π$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)、等腰直角三角形的判定性質(zhì)、扇形面積計算等知識點，難度適中．注意旋轉(zhuǎn)變換的“不變”特征，即旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)的線段和角度是不變的．