Question

8．已知下列等式：①2²-1²=3；②3²-2²=5；③4²-3²=7，…
（1）請(qǐng)仔細(xì)觀察前三個(gè)等式的規(guī)律，寫出第⑥個(gè)等式：7²-6²=13；
（2）請(qǐng)你找出規(guī)律，寫出第n個(gè)等式，請(qǐng)說明等式成立；
（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算；1+3+5+7+…+99．

Answer 1

分析 （1）由等式左邊兩數(shù)的底數(shù)可知，兩底數(shù)是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，右邊為兩底數(shù)的和，由此得出規(guī)律；
（2）等式左邊減數(shù)的底數(shù)與序號(hào)相同，由此得出第n個(gè)式子，根據(jù)整式的運(yùn)算展開、合并即可驗(yàn)證；
（3）由3=2²-1²，5=3²-2²，7=4²-3²，…，將算式逐一變形，再尋找抵消規(guī)律．

解答 解：（1）依題意，得第⑥個(gè)算式為：7²-6²=13；
故答案為：7²-6²=13；

（2）根據(jù)幾個(gè)等式的規(guī)律可知，第n個(gè)式子為：（n+1）²-n²=2n+1；
∵左邊=n²+2n+1-n²=2n+1=右邊，
∴（n+1）²-n²=2n+1；

（3）由（2）的規(guī)律可知，
1+3+5+7+…+99
=1+（2²-1²）+（3²-2²）+（4²-3²）+…+（51²-50²）
=51²
=2061．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．