Question

3．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點A（-1，0），與y軸相交于點B（0，3）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出頂點D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為該拋物線對稱軸上的點，且使得△PAB為等腰三角形，請求出所有點P的坐標(biāo)；
（3）請問拋物線上是否存在一點M，使得△MBD的面積是△ABD面積的2倍，若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）平移直線AB交拋物線的對稱軸于E，交拋物線于F，過F作FG⊥x軸，G為垂足，當(dāng)以D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形為平行四邊形時，求平移后直線AB的解析式．（只要求直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；
（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)，表示出AB²=10²，PB²=1+（t-3）²，PA²=4+t²，分三種情況建立方程求解即可；
（3）先求出三角形ABD的面積，進(jìn)而得出三角形MAB的面積，再求出MN的解析式，聯(lián)立方程組求解即可；
（4）由于DE∥FG，要使以D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形為平行四邊形，只需DE=FG，分t＞0建立方程求解即可和t＜0判斷不存在滿足條件的平移后的直線．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸的負(fù)半軸相交于點A（-1，0），與y軸相交于點B（0，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
頂點坐標(biāo)D（1，4），
（2）設(shè)點P（1，t），
∵A（-1，0），B（0，3）
∴AB²=10²，PB²=1+（t-3）²，PA²=4+t²，
①當(dāng)PA=PB時，即：1+（t-3）²=4+t²，
∴t=1，
∴P₁（1，1）；
②當(dāng)AB=AP時，即：4+t²=10，
∴t=±$\sqrt{6}$，\
∴P₂（1，$\sqrt{6}$），P₃（1，-$\sqrt{6}$），
③當(dāng)BP=BA時，即：1+（t-3）²=10，
∴t=0，或t=6（舍）
∴P₄（1，0），
∴P₁（1，1），P₂（1，$\sqrt{6}$），P₃（1，-$\sqrt{6}$），P₄（1，0）；
（3）存在，
如圖，

∵D（1，4），A（-1，0），
∴直線AD解析式為y=2x+2，
∴E（0，2），
∵B（0，3），
∴BE=1，
∴S_△ABD=S_△ABE+S_△DBE=$\frac{1}{2}$BE×|x_A|+$\frac{1}{2}$BE×|x_D|=$\frac{1}{2}$BE（|x_A|+|x_D|）=$\frac{1}{2}$×1×（1+1）=1
∵B（0，3），D（1，4），
∴BD=$\sqrt{2}$，
直線BD解析式為y=x+3，
∵S_△MBD=2S_△ABD=2，
∴點M到直線BD 的距離為2$\sqrt{2}$，
過M作直線MN∥BD，交對稱軸于點H，過點D作DD'⊥MN，過點B作BK⊥DH，
∴△DD'H∽△BKD，
∴$\frac{DH}{BD}=\frac{DD'}{BK}$，
∴H（1，0），
直線MN的解析式為y=x-1①；
∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+3②，
聯(lián)立①②求的x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴M₁（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$），M2（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{2}$）．
（4）如圖1，
∵A（-1，0），B（0，3），
∴直線AB解析式為y=3x+3，
設(shè)E（1，t），
∴直線EF解析式為y=3x+t-3，
∵D（1，4），
∴DE=|4-t|
①當(dāng)t＞0時，
∵以D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形為平行四邊形，且DE∥FG，
∴DE=FG=4-t，
即：F的縱坐標(biāo)為4-t，
∵F在直線EF上，
∴F（$\frac{7-2t}{3}$，4-t），
∵F在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴t=$\frac{25-3\sqrt{41}}{8}$或t=$\frac{25+3\sqrt{41}}{8}$，
∴平移后直線AB的解析式為y=3x+$\frac{1-3\sqrt{41}}{8}$或y=3x+$\frac{1+3\sqrt{41}}{8}$（舍）
②當(dāng)t＜0時，OE＞FG
∴DE＞FG，
即：以D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形不可能為平行四邊形．
綜上所述，平移后直線AB的解析式為y=3x+$\frac{1-3\sqrt{41}}{8}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，點到直線的距離，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出直線MN的解析式．