Question

8．如圖1，直線l：y=-kx+kb（k＞0，b＞0），與x，y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點(diǎn)A、B、D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．

（1）探究與猜想：
①探究：若P：y=-x²-3x+4，則l表示的函數(shù)解析式為y=-2x+2，若l：y=-2x+2，則P表示的函數(shù)解析式為y=-x²-x+2；
②猜想：若b=1時(shí)，直線l：y=-kx+k的關(guān)聯(lián)拋物線的拋物線解析式為y=-x²-（k-1）x+k，并驗(yàn)證你的猜想；
（2）如圖2，若k=2，b=2，直線MN：y=mx+n與直線l的關(guān)聯(lián)拋物線P拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，∠MBN=90°，直線MN必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)Q，請求定點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)題意，由y=-x²-3x+4求出A、B坐標(biāo)即可求出直線AB解析式；由y=-2x+2，求出A、B、D坐標(biāo)即可求出拋物線解析式．
②由①得出猜想．求出A、B、D坐標(biāo)即可求出拋物線解析式．
（2）過點(diǎn)B作x軸的平行線PQ，作MP⊥PQ于P，作NQ⊥PQ于N，由Rt△BNQ∽Rt△MBP，得$\frac{MP}{BQ}$=$\frac{BP}{NQ}$，即$\frac{4-{y}_{1}}{-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{4-{y}_{2}}$，整理得x₁x₂+16-4（y₁+y₂）+y₁y₂=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$，整理得x²+（2m+2）x+2n-8=0，利用根與系數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m，n的方程即可解決問題．

解答 解：（1）①∵拋物線P：y=-x²-3x+4，
∴A（1，0），D（-4，0），B（0，4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴P的關(guān)聯(lián)直線為y=-4x+4，
∵l：y=-2x+2，
∴B（0，2），A（1，0），D（-2，0），
設(shè)拋物線P：y=ax²+bx+c，則有$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a+b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴關(guān)聯(lián)拋物線P為：y=-x²-x+2
故答案為y=-2x+2，y=-x²-x+2．

②猜想：y=-x²-（k-1）x+k．
理由：∵l：y=-kx+k，
∴B（0，k），A（1，0），D（-k，0），
設(shè)拋物線P：y=ax²+bx+c，則有$\left\{\begin{array}{l}{c=k}\\{a+b+c=0}\\{-a{k}^{2}-bk+c=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-（k-1）}\\{c=k}\end{array}\right.$，
∴拋物線p：y=-x²-（k-1）x+k．
故答案為y=-x²-（k-1）x+k．

（3）直線l的解析式為y=-2x+4，
∴A（2，0）、B（0，4）、D（-4，0），
∴可得拋物線P的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
過點(diǎn)B作x軸的平行線PQ，作MP⊥PQ于P，作NQ⊥PQ于N，
∴Rt△BNQ∽Rt△MBP，
∴$\frac{MP}{BQ}$=$\frac{BP}{NQ}$，
即$\frac{4-{y}_{1}}{-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{4-{y}_{2}}$，整理得x₁x₂+16-4（y₁+y₂）+y₁y₂=0，
∵y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2n，y₁y₂=（mx₁+n）（mx₂+n）=m²x₁x₂+mn（x₁+x₂）+n²，
∴（m²+1）x₁x₂+（mn-4m）（x₁+x₂）+n²-8n+16=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$，整理得x²+（2m+2）x+2n-8=0，
∴x₁+x₂=-2m-2，x₁x₂=2n-8，
∴n²-6n+8m-2mn+8=0，
∴（n-4）（n-2m-2）=0，
當(dāng)n=4時(shí)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)B，無法得到∠MBN=90°，
∴n=2m+2，
∴直線MN的解析式為y=mx+2m+2，
必過定點(diǎn)（-2，2）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、根與系數(shù)關(guān)系、解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會添加輔助線構(gòu)造相似三角形，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．