Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，M為斜邊AB的中點(diǎn)，N為直角邊AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BN，證明：CH²=AH•MH．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：

分析：連接CM、MN，可得CM⊥AB，然后根據(jù)∠AHB=∠CMB=90°證明H、C、B、M四點(diǎn)共圓，繼而根據(jù)四點(diǎn)共圓可證得∠MHN+∠NAM=180°，即可得出A、N、M、H四點(diǎn)共圓，然后根據(jù)∠AHN=∠BHM，∠ANH=∠BMH證明△ANH∽△BMH，根據(jù)三角形的相似得出HN•HB=AH•HM，繼而可證得CH²=AH•MH．

解答：解：連接CM、MN，
∵點(diǎn)M為AB中點(diǎn)．△ABC為等腰直角三角形，
∴CM⊥AB，
∴∠AHB=∠CMB=90°，
∴H、C、B、M四點(diǎn)共圓，
∴∠MHB=∠MCB=45°，∠HMC=∠BC，
∴∠MHN=180°-∠MHB=135°，
∵∠NAM=45°，
∴∠MHN+∠NAM=180°，
∴A、N、M、H四點(diǎn)共圓，
∴∠AHN=∠AMN=45°，
∴∠AHN=∠BHM，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠MNH=∠HBC，
∵∠ANH=90°+∠MNH，∠HMB=90°+∠HMC，
∴∠ANH=∠BMH，
∴△ANH∽△BMH，
∴HN•HB=AH•HM，
在Rt△BCN中，
∵CH²=HN•HB，
∴CH²=AH•MH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)角的變換證得四點(diǎn)共圓，以及利用相似三角形的性質(zhì)得出HN•HB=AH•HM，難度較大．