Question

5．在平面直角坐標系中，已知A（2，4）、B（2，-1），若拋物線y=2（x-3）²+k與線段AB有交點，且與y軸相交于點C，則下列四種說法：①當(dāng)k=0時，拋物線y=2（x-3）²+k與x軸有唯一公共點；②當(dāng)x＞4時，y隨x的增大而增大；③點C的縱坐標的最大值為2；④拋物線與x軸的兩交點間的距離的最大值為$\sqrt{6}$；其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①把k=0代入y=2（x-3）²+k，由于方程2（x-3）²=0根的判別式△=0，所以拋物線y=2（x-3）²與x軸有唯一公共點，即可判斷①正確；
②根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷②正確；
③拋物線y=2（x-3）²+k過點A（2，4）時，點C的縱坐標最大，求出此時點C的縱坐標，即可判斷③錯誤；
④拋物線y=2（x-3）²+k過點B（2，-1）時，與x軸的兩交點間的距離最大，求出此時的值，即可判斷④正確．

解答 解：①把k=0代入y=2（x-3）²+k，得y=2（x-3）²，
方程2（x-3）²=0即為2x²-12x+18=0，
∵△=12²-4×2×18=0，
∴方程2（x-3）²=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴拋物線y=2（x-3）²與x軸有唯一公共點，
即當(dāng)k=0時，拋物線y=2（x-3）²+k與x軸有唯一公共點，故①正確；
②∵y=2（x-3）²+k中，
a=2＞0，開口向上，對稱軸是直線x=3，
∴當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＞4時，y隨x的增大而增大，故②正確；
③∵拋物線y=2（x-3）²+k與線段AB有交點，且與y軸相交于點C，
∴拋物線y=2（x-3）²+k過點A（2，4）時，點C的縱坐標最大，
把A（2，4）代入y=2（x-3）²+k，得4=2（2-3）²+k，解得k=2，
此時拋物線是y=2（x-3）²+2，即y=2x²-12x+20，
此時點C的坐標為（0，20），即點C的縱坐標的最大值為20，故③錯誤；
④∵拋物線y=2（x-3）²+k與線段AB有交點，
∴拋物線y=2（x-3）²+k過點B（2，-1）時，與x軸的兩交點間的距離最大，
把B（2，-1）代入y=2（x-3）²+k，得-1=2（2-3）²+k，解得k=-3，
此時拋物線是y=2（x-3）²-3，
解方程2（x-3）²-3=0，得x₁=3+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₂=3-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以拋物線與x軸的兩交點間的距離的最大值為（3+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）-（3-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\sqrt{6}$，故④正確．
故選B．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式等知識，綜合性較強，難度適中．