Question

20．如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B為中點(diǎn)．
（Ⅰ）計(jì)算AB的長(zhǎng)等于$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
（Ⅱ）若點(diǎn)P，Q分別為線段BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且BP=CQ，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出當(dāng)PQ最短時(shí)，點(diǎn)P，Q的位置，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法（不要求證明）取BC的中點(diǎn)P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，線段PQ即為所求．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理計(jì)算即可；
（2）設(shè)BP=CQ=x，由BC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，推出PC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x，在Rt△PCQ中，PQ=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3\sqrt{5}}{2}-x）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-3\sqrt{5}x+\frac{45}{4}}$，對(duì)于函數(shù)y=2x²-3$\sqrt{5}$x+$\frac{45}{4}$，當(dāng)x=-$\frac{-3\sqrt{5}}{2×2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$時(shí)，y有最小值，此時(shí)PQ的值最小，此時(shí)PC=PB=CQ=$\frac{3}{4}$AC，取BC的中點(diǎn)P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，圖中PQ即為所求．

解答 解：（Ⅰ）由圖象可知AB=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)BP=CQ=x，
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴PC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x，
在Rt△PCQ中，PQ=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3\sqrt{5}}{2}-x）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-3\sqrt{5}x+\frac{45}{4}}$，
對(duì)于函數(shù)y=2x²-3$\sqrt{5}$x+$\frac{45}{4}$，當(dāng)x=-$\frac{-3\sqrt{5}}{2×2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$時(shí)，y有最小值，此時(shí)PQ的值最小，
此時(shí)PC=PB=CQ=$\frac{3}{4}$AC．取BC的中點(diǎn)P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，圖中PQ即為所求．

故答案為：取BC的中點(diǎn)P，在AC上截取AQ=$\frac{1}{4}$AC，線段PQ即為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)根據(jù)二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，不同的突破點(diǎn)是求出PQ最小時(shí)，CQ的值，屬于中考�？碱}型．