Question

18．如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖象L₁與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線L₂：y=-$\frac{1}{2}$x²+tx-1與x軸的交點(diǎn)分別為C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．
（1）當(dāng)L₂的頂點(diǎn)在L₁上時，求t的值．
（2）若C、D兩點(diǎn)中有一點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱，試判斷這個點(diǎn)是點(diǎn)C還是點(diǎn)D．
（3）若L₂的頂點(diǎn)為E，對稱軸與L₁的交點(diǎn)為F，且點(diǎn)E在點(diǎn)F的下方，t為何值時，線段EF的長最大．

Answer 1

分析 （1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線y=x+2中，即可得出結(jié)論．
（2）先確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而確定出點(diǎn)A，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出拋物線解析式，另為確定出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，進(jìn)行判定即可得出結(jié)論；
（3）先建立EF與t的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+tx-1=-$\frac{1}{2}$（x-t）²+$\frac{1}{2}$t²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t²-1），
∵L₂的頂點(diǎn)在L₁上，
∴$\frac{1}{2}$t²-1=t+2，
∴t=1+$\sqrt{7}$或t=1-$\sqrt{7}$；
（2）令y=0，
∴x+2=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
∵該點(diǎn)在拋物線上，
∴0=-$\frac{1}{2}$×4+2t-1，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$-1=0，
令y=0，
∴-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$-1=0，
∴x=1或x=2，
∵點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，
∴C（1，0），D（2，0），
∴與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)是D；
（3）由（1）知，E（t，$\frac{1}{2}$t²-1），
在直線L₁：y=x+2中，
令x=t，∴y=t+2，
∴F（t，t+2），
∵點(diǎn)E在點(diǎn)F的下方，
∴EF=t+2-（$\frac{1}{2}$t²-1）=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{7}{2}$，
∴當(dāng)t=1時，EF最大，最大值為$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線的一般形式化為頂點(diǎn)式的方法，對稱性，極值的確定方法，解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線的解析式，是一道基礎(chǔ)題目．