Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若∠CAD=∠B，tan∠DAB=$\frac{3}{4}$，BD=2$\sqrt{5}$，則線段AC的長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作BE⊥AB，交AD的延長(zhǎng)線與E，先證明∠CDA=∠CBE，進(jìn)而可得∠CBE=∠EDB，則根據(jù)等角對(duì)等邊可得DE=BE，然后設(shè)BE=3k，AB=4k，則有AE=5k，AD=2k，再證明△CAD∽△CBA，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求解即可．

解答 解：過點(diǎn)B作BE⊥AB，交AD的延長(zhǎng)線與E，
∵∠ACB=90°，BE⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=90°，∠ABC+∠CBE=90°，
∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CDA=∠CBE，
又∵∠CDA=∠EDB，
∴∠CBE=∠EDB，
∴DE=BE；
∵tan∠DAB=$\frac{3}{4}$，設(shè)BE=3k，AB=4k（k≠0），
∴AE=5k，DE=3k，AD=2k，
∵∠C=∠C，∠CAD=∠CBA，
∴△CAD∽△CBA，
∴CA：CB=CD：CA=AD：AB，即CA：（CD+$2\sqrt{5}$）=CD：AC=2k：4k=1：2，
∴AC=2CD，2AC=CD+$2\sqrt{5}$，
解得AC=$\frac{4}{3}\sqrt{5}$，
故答案為：$\frac{4}{3}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解直角三角形等知識(shí)，難度適中，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．