Question

13．如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=α．
（1）如圖①，OE平分∠AOD，∠EOF=90°，∠α=30°，求∠BOF的度數(shù)；
（2）如圖②，∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD，∠EOF=60°，∠α=30°，求∠BOF的度數(shù)；
（3）如圖③，∠DOE=$\frac{1}{4}$∠AOD，∠EOF=45°，求$\frac{∠BOF}{∠AOC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠AOC=α=30°，求得∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)OE平分∠AOD，得到∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=75°，最后根據(jù)∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)∠AOC=α=30°，求得∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD，得到∠AOE=$\frac{2}{3}$∠AOD=100°，最后根據(jù)∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先根據(jù)∠AOC=α，求得∠AOD=180°-∠AOC=180°-α，再根據(jù)∠DOE=$\frac{1}{4}$∠AOD，得到∠AOE=$\frac{3}{4}$∠AOD=135°-$\frac{3}{4}α$，最后根據(jù)∠EOF=45°，求得∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=$\frac{3}{4}$α，進(jìn)而得到$\frac{∠BOF}{∠AOC}$=$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）如圖①，∵∠AOC=α=30°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=150°，
又∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=75°，
又∵∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-75°-90°=15°；

（2）如圖②，∵∠AOC=α=30°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=150°，
又∵∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD，
∴∠AOE=$\frac{2}{3}$∠AOD=100°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-100°-60°=20°；

（3）如圖③，∵∠AOC=α，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-α，
又∵∠DOE=$\frac{1}{4}$∠AOD，
∴∠AOE=$\frac{3}{4}$∠AOD=$\frac{3}{4}$（180°-α）=135°-$\frac{3}{4}α$，
又∵∠EOF=45°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（135°-$\frac{3}{4}α$）-45°=$\frac{3}{4}$α，
∴$\frac{∠BOF}{∠AOC}$=$\frac{\frac{3}{4}α}{α}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了鄰補(bǔ)角的定義以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．解題時(shí)注意：圖中兩直線相交于點(diǎn)O，則存在多個(gè)平角．