Question

7．已知：如圖1，等邊△OAB的邊長為3，另一等腰△OCA與△OAB有公共邊OA，且OC=AC，∠C=120°．現(xiàn)有兩動點P、Q分別從B、O兩點同時出發(fā)，點P以每秒3個單位的速度沿BO向點O運動，點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動．請回答下列問題：
（1）在運動過程中，△OPQ的面積記為S，請用含有時間t的式子表示S．
（2）在等邊△OAB的邊上（點A除外），是否存在點D，使得△OCD為等腰三角形？如果存在，這樣的點D共有4個．
（3）如圖2，現(xiàn)有∠MCN=60°，其兩邊分別與OB、AB交于點M、N，連接MN．將∠MCN繞著點C旋轉(zhuǎn)，使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發(fā)生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意分別表示出QO，OP的長，進而得出S與t的關系式；
（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形．每一種情形，都有可能O為頂點，C為頂點，D為頂點，分別討論，得出答案；
（3）如果延長BA至點F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，進而求出△BMN的周長．

解答 解：（1）如圖1，∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∴∠POQ=90°，
∵OQ=t，OP=3-3t．
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$t•（3-3t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t，
即S=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t；

（2）如圖2，（i）當D點在OA上，
①以D為頂點，D₁C=OD₁，
②以O為頂點，OD₂=OC，
（ii）當D點在OB上，
由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D為頂點的等腰三角形，
以O為頂點時，OD₃=OC．
（iii）當D點在AB上時，
此時OD的最短距離為OD⊥AB時，此時OD≠OC，不存在以O為頂點的等腰三角形；
當以C為頂點時，D點和A點重合，
當以D為頂點時，OD₄=CD₄，
綜上所述，這樣的點D共有4個；
故答案為：4；

（3）△BMN的周長不發(fā)生變化．理由如下：
延長BA至點F，使AF=OM，連接CF．（如圖3）
又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
在△MOC和△FAC中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}\\{∠MOC=∠CAF=90°}\\{MO=AF}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△FAC（SAS），
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA-∠MCN=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
在△MCN和△FCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=FC}\\{∠FCN=∠MCN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△FCN（SAS），
∴MN=NF．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=6．
∴△BMN的周長不變，其周長為6．

點評 本題主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形面積求法等知識，得出△OCD為等腰三角形時，注意分類討論，做到不重復，不遺漏．