Question

9．如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC邊上的中點(diǎn)，且△ABM≌△DCM；E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．
（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形．
（2）求證：EF與MN互相垂直．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得出∠A=90°，即可得出結(jié)論；
（2）先證明四邊形MENF是平行四邊形，再證明平行四邊形MENF是菱形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．
（2）證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，
∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM．
∴NE=FM，NE∥FM．
∴四邊形MENF是平行四邊形．
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM．
∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，
∴ME=MF．
∴平行四邊形MENF是菱形．
∴EF與MN互相垂直．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解決問題（2）的關(guān)鍵．