Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，點O在斜邊AB上，以O(shè)B的長為半徑的⊙O與BC交于點D，且AD與⊙O相切于點D．
（1）求證：∠CAD=∠ABC；
（2）若tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ADO=90°，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得；
（2）設(shè)AB與圓相交于點E，連接DE，設(shè)DE=x，利用△BDE∽△BCA，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可列方程求得x的值，進而求得半徑．

解答 解：（1）證明：連接OD．
∵AD是⊙O的切線，
∴OD⊥AD，即∠ADO=90°．
∴∠ADC+∠ODB=90°，
又∵Rt△ACD中，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠ODB，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠CAD=∠ABC；
（2）設(shè)AB與圓相交于點E，連接DE．
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠EDB=90°，
∴AC∥DE，
∴△BDE∽△BCA，
∵∠CAD=∠ABC，且tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴設(shè)DE=x，則BD=$\sqrt{2}$x，
∴BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$x．
∴CD=BC-BD=2-$\sqrt{2}$x．
在Rt△ACD中，tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{2-\sqrt{2}x}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則AC=2$\sqrt{2}$-2x．
∵△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{x}{2\sqrt{2}-2x}$=$\frac{\sqrt{2}x}{2}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則半徑是$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造相似的三角形是關(guān)鍵．