Question

20．如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD為BC邊上的高，延長AB到E，使BE=BD，過點D，E引直線交AC于點F．
（1）請說明△ADF和△DFC是等腰三角形．
（2）判斷AF與FC的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊對等角可得∠E=∠BDE，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ABC=2∠BDE，從而求出∠C=∠BDE，再求出∠C=∠CDF，然后根據(jù)等角對等邊求出DF=FC，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CAD=∠ADF，根據(jù)等角對等邊求出DF=AF，即可得到AF=FC．

解答 （1）證明：∵BE=BD，
∴∠E=∠BDE，
∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE，∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠BDE，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠C=∠CDF，
∴DF=FC，
∴△DFC為等腰三角形；
∵AD為BC邊上的高，
∴∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∠C+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠CAD=∠ADF，
∴DF=AF，
∴△ADF是等腰三角形；

（2）解：由（1）知AF=DF=FC．

點評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是得到∠FDC=∠C．．