Question

10．如圖，菱形ABCD的邊長是4，∠B=120°，P是對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，則PE+PD的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BE與AC相交于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，BE的長度即為PE+PD的最小值，連接BD，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BCD=60°，從而判斷出△BCD是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BE的長度即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，
如圖，連接BE與AC相交于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱確定最短路線問題，BE的長度即為PE+PD的最小值，
連接BD，∵∠B=120°，
∴∠BCD=180°-120°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴BE=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
即PE+PD的最小值為2$\sqrt{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．