Question

（本題10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；

（2）求證：AE=CP；

（3）當，BP′=時，求線段AB的長．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）10．

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉的性質可得AP=AP′，根據等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P，再根據等角的余角相等證明即可；

（2）過點P作PD⊥AB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DP，從而得證；

（3）設CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．

試題解析：∵AP′是AP旋轉得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，

∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，

又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），∴∠CBP=∠ABP；

（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，

∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°，

又∵∠PAD+∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，∵∠PAD=∠AP′E，∠ADP=∠P′EA=90°，AP=AP′，∴△APD≌△P′AE（AAS），∴AE=DP，∴AE=CP；

（3）解：∵，∴設CP=3k，PE=2k，則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，

在Rt△AEP′中，P′E=，

∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，

∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），∴∠CBP=∠P′PE，

又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′，∴AB：P′E=P′A：PE，即AB：4k=P′A：2k，

解得P′A=AB，

在Rt△ABP′中，，即，解得AB=10．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．角平分線的性質；3．相似三角形的判定與性質．