Question

12．正方形ABCD中，AB=4．點E為射線CB上一點，F(xiàn)為AE的中點，過點F作GH⊥AE分別交邊AB和CD于G，H．
（1）若E為邊BC的中點，GH=2$\sqrt{5}$；$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{3}$；
（2）若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，求$\frac{GF}{FH}$的值；
（3）若$\frac{BE}{EC}$=k，$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{k+2}$或$\frac{k}{2-k}$．

Answer 1

分析 （1）如答圖1所示，作輔助線，由全等三角形證明GH=AE；由相似三角形△AFG∽△ABE，求出$\frac{GF}{FH}$的值；
（2）若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，如答圖2所示，有兩種情形，需要分類討論；
（3）若$\frac{BE}{EC}$=k，如答圖2所示，有兩種情形，需要分類討論．

解答 解：（1）如答圖1所示，過點H作HN⊥AB于點N，則四邊形ADHN為矩形，
∴HN=AD，
∴HN=AB．
∵∠AGH+∠GHN=∠AGH+∠EAB=90°，
∴∠GHN=∠EAB．

在△AEB與△HGN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠HNG=90°\\ AB=HN\\∠EAB=∠GHN\end{array}\right.$
∴△AEB≌△HGN（ASA）．
∴GH=AE．
若E為邊BC的中點，則BE=$\frac{1}{2}$BC=2．
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{AB}^{2}+{BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴GH=2$\sqrt{5}$；
∵∠EAB=∠EAB，∠AFG=∠B=90°，
∴△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×2=$\frac{1}{4}$AE=$\frac{1}{4}$GH．
∴FH=GH-GF=$\frac{3}{4}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{3}$．

（2）若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，
①若點E在線段BC上，如答圖2-1所示，則BE=$\frac{2}{3}$，
與（1）同理，易證△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{12}$AE=$\frac{1}{12}$GH，
∴FH=GH-GF=$\frac{11}{12}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{11}$；
②若點E在線段CB的延長線上，如答圖2-2所示，則BE=1．
與（1）同理，可得AE=GH．
與（1）同理，易證△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$AE=$\frac{1}{8}$GH，
∴FH=GH+GF=$\frac{9}{8}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{1}{9}$．
綜上所述，若$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{5}$，則$\frac{GF}{FH}$的值為$\frac{1}{11}$或$\frac{1}{9}$．


（3）若$\frac{BE}{EC}$=k，
①若點E在線段BC上，如答圖2-1所示．
∵BE+CE=BC，∴BE=$\frac{k}{k+1}$BC=$\frac{k}{k+1}$AB．
與（1）同理，易證△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{AB}$×$\frac{k}{k+1}$AB=$\frac{k}{2k+2}$AE=$\frac{k}{2k+2}$GH，
∴FH=GH-GF=$\frac{k+2}{2k+2}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{k+2}$；
②若點E在線段CB的延長線上，如答圖2-2所示．
∵BE+BC=EC，∴BE=$\frac{k}{1-k}$BC=$\frac{k}{1-k}$AB．
與（1）同理，可得AE=GH．
與（1）同理，易證△AFG∽△ABE，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}$，
∴GF=$\frac{AF}{AB}$•BE=$\frac{\frac{1}{2}AE}{AB}$×$\frac{k}{1-k}$AB=$\frac{k}{2-2k}$AE=$\frac{k}{2-2k}$GH，
∴FH=GH+GF=$\frac{2-k}{2-2k}$GH，
∴$\frac{GF}{FH}$=$\frac{k}{2-k}$．
綜上所述，若$\frac{BE}{EC}$=k，則$\frac{GF}{FH}$的值為$\frac{k}{k+2}$或$\frac{k}{2-k}$．

點評 本題是幾何綜合題，考查了相似三角形、正方形、全等三角形、勾股定理等知識點．本題三問體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，由特殊情形歸納出一般規(guī)律．解題時注意運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，避免漏解；另外比例關(guān)系運算較為復(fù)雜，注意認真計算不要出錯．