Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=12cm，BC=15cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向B點運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．從運動開始，使PQ=CD，需經過多少時間？為什么？

Answer 1

分析 設點P、Q運動時間為t秒，得出AP=tcm，CQ=2tcm，PD=12-t，當PQ∥CD且PQ=CD時，得出方程12-t=2t，求出即可；當PQ與CD不平行，PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，分別過點P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，垂足分別為M、N，則MN=PD=12-t，得出方程$\frac{1}{2}$（3t-12）=3，求出即可．

解答 解：設點P、Q運動時間為t秒，
則AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD-AP=12-t，
如圖1當PQ∥CD，且PQ=CD時，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四邊形PQCD為平行四邊形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12-t=2t，
解得t=4s，即當t=4s時，PQ=CD；
當PQ與CD不平行，PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形．
如圖2，分別過點P、D作PM⊥BC，DN⊥BC，
垂足分別為M、N，則MN=PD=12-t，
QM=CN=$\frac{1}{2}$（CQ-MN）=$\frac{1}{2}$（2t-12+t），
=$\frac{1}{2}$（3t-12），
∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵DN⊥BC，
∴∠BND=90°，
∴四邊形ABND為矩形，
∴BN=AD=12，
∴QM=CN=BC-BN=15-12=3，
∴$\frac{1}{2}$（3t-12）=3，解得t=6．
綜上，當t=4s或t=6時PQ=CD．

點評 本題考查了梯形的性質，矩形的性質和判定，平行四邊形的性質的應用，題目是一道綜合性比較強的題目，難度適中．