Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．點P在邊AC上運(yùn)動，過點P作PD⊥AB于點D，以AP、AD為鄰邊作?PADE．設(shè)□PADE與△ABC重疊部分圖形的面積為y，線段AP的長為x（0＜x≤6）．
（1）求線段PE的長（用含x的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)點E落在邊BC上時，求x的值．
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）直接寫出點E到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時x的值．

Answer 1

分析 （1）先由∠C=90°，AC=BC，得出∠A=45°，再解等腰直角△APD，得出AD=AP•cos∠A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=PD，然后根據(jù)平行四邊形對邊相等得出PE=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；
（2）當(dāng)點E落在邊BC上時，先由平行線的性質(zhì)得出∠CPE=∠A=45°，再解等腰直角△CPE，得出PC=PE•cos∠CPE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x，再根據(jù)AP+PC=AC列出方程x+$\frac{1}{2}$x=6，解方程即可；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜x≤4時，y=S_?PADE，根據(jù)平行四邊形面積公式求解即可；②當(dāng)4＜x≤6時，設(shè)DE與BC交于G，PE與BC交于F．求出GE=DE-DG=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6，再根據(jù)y=S_?PADE-S_△GFE計算即可；
（4）由（2）知，x=4時，點E落在邊BC上，此時點E到△ABC任意兩邊所在直線距離均不相等，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)E在△ABC內(nèi)部時，0＜x＜4．過E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延長DE交BC于N，則EN⊥BC．求出EL=$\frac{1}{2}$x，EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，EN=6-$\frac{3}{2}$x．由于$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．所以分EL=EN與EM=EN分別列出方程，求解即可；②當(dāng)E在△ABC外部時，4＜x≤6，過E作EL⊥AC交AC延長線于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．求出EL=$\frac{1}{2}$x，EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，EG=$\frac{3}{2}$x-6．由于$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．所以分EL=EN與EM=EN分別列出方程，求解即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∵PD⊥AB，
∴AD=AP•cos∠A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=PD，
∵四邊形PADE是平行四邊形，
∴PE=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；

（2）當(dāng)點E落在邊BC上時，如圖1．
∵PE∥AD，
∴∠CPE=∠A=45°，
∵∠C=90°，
∴PC=PE•cos∠CPE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x．
∵AP+PC=AC，
∴x+$\frac{1}{2}$x=6，
∴x=4；

（3）①當(dāng)0＜x≤4時，如圖2．
y=S_?PADE=AD•PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²，即y=$\frac{1}{2}$x²；
②當(dāng)4＜x≤6時，如圖3，設(shè)DE與BC交于G，PE與BC交于F．
∵AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，AB=$\sqrt{2}$AC=6$\sqrt{2}$，
∴DB=AB-AD=6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴DG=DB•sin∠B=（6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6-$\frac{1}{2}$x，
∴GE=DE-DG=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6，
∴y=S_?PADE-S_△GFE=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$x-6）²=-$\frac{5}{8}$x²+9x-18；

（4）①當(dāng)E在△ABC內(nèi)部時，0＜x＜4，如圖4，過E作EL⊥AC于L，EM⊥AB于M，延長DE交BC于N，則EN⊥BC．
EL=PE•sin∠LPE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x，
EM=DE•sin∠EDM=x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
EN=DN-DE=DB•sin∠B-AP=（6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-x=6-$\frac{1}{2}$x-x=6-$\frac{3}{2}$x．
∵0＜x＜4，
∴$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．
當(dāng)EL=EN時，E在∠ACB的平分線上，
有$\frac{1}{2}$x=6-$\frac{3}{2}$x，解得x=3，符合題意；
當(dāng)EM=EN時，E在∠ABC的平分線上，
有$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=6-$\frac{3}{2}$x，解得x=$\frac{12（3-\sqrt{2}）}{7}$，符合題意；
②當(dāng)E在△ABC外部時，4＜x≤6，過E作EL⊥AC交AC延長線于L，EM⊥AB于M，易知EG⊥BC．
EL=GC=AD•sin∠A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$x，
EM=DE•sin∠EDM=x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
EG=DE-DG=AP-DB•sin∠B=x-（6$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6．
∵4＜x≤6，
∴$\frac{1}{2}$x≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即EL≠EM．
當(dāng)EL=EG時，E在∠ACB的外角的角平分線上，
有$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$x-6，解得x=6，符合題意；
當(dāng)EM=EG時，E在∠ABC的外角的角平分線上，
有$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{3}{2}$x-6，解得x=$\frac{12（3+\sqrt{2}）}{7}$＞6，不合題意舍去．
綜上所述，點E到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時x的值為3，6，$\frac{12（3-\sqrt{2}）}{7}$．

點評 本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，三角形、四邊形的面積等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論以及方程思想是解題的關(guān)鍵．