Question

2．如圖，已知A（-4，-$\frac{1}{2}$），B（-1，-2）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＜0）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求一次函數(shù)解析式及m的值；
（2）在雙曲線（x＜0）上是否存在一點(diǎn)P，使△PCA和△PDB面積相等，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{2}{a}$），根據(jù)面積公式和已知條件列式可求得a的值，并根據(jù)條件取舍，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b，
把A（-4，-$\frac{1}{2}$），B（-1，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-\frac{1}{2}}\\{-k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$過B（-1，-2），
∴m=-1×（-2）=2；
（2）存在，在雙曲線（x＜0）上取一點(diǎn)P，連接PC、PA、PB、PD，
如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，$\frac{2}{a}$），
由點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)可知：AC=$\frac{1}{2}$，OC=4，OD=2，BD=1，
則△PAC的邊AC上的高為4+a，△PBD邊BD上的高為$\frac{2}{a}$+2，
由題意得：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（a+4）=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{2}{a}$+2），
解得：a₁=-2，a₂=2（舍去），
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{2}{-2}$=-1，
∴P（-2，-1）．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；注意對于函數(shù)上的點(diǎn)可以利用解析式來表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)已知條件列等式解出即可．