Question

9．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（4，0），B（-1，0）兩點與y軸交于點C，動點P在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A、B兩點的坐標分別代入y=-x²+bx+c，運用待定系數法就可求出拋物線的解析式；
（2）可分兩種情況（①以C為直角頂點，②以A為直角頂點）討論，然后根據點P的縱、橫坐標之間的關系建立等量關系，就可求出點P的坐標；
（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，根據垂線段最短可得當OD⊥AC時，OD（即EF）最短，然后只需求出點D的縱坐標，就可得到點P的縱坐標，就可求出點P的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（4，0），B（-1，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是y=-x²+3x+4；

（2）存在．
①當以C為直角頂點時，
過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁，
過點P₁作y軸的垂線，垂足是M，如圖1．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC=4，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
設P（m，-m²+3m+4），
則m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴m=2，
此時-m²+3m+4=6，
∴P₁的坐標是（2，6）；
②當點A為直角頂點時，
過A作AP₂⊥AC交拋物線于點P₂，
過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F，如圖2，則P₂N∥x軸，
∵∠CAO=45°，
∴∠OAP₂ =45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF，
∴P₂N=NF，
設P₂（n，-n²+3n+4），
則-n+4=-（-n²+3n+4），
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴n=-2，
此時-n²+3n+4=-6，
∴P₂的坐標是（-2，-6）．
綜上所述：P的坐標是（2，6）或（-2，-6）；

（3）當EF最短時，點P的坐標是（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）．
解題過程如下：
連接OD，如圖3，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．
根據垂線段最短可得：當OD⊥AC時，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．
根據等腰三角形的性質可得：D是AC的中點．
又∵DF∥OC，
∴△AFD∽△AOC，
∴$\frac{DF}{CO}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴點D的縱坐標是2，
∴點P的縱坐標也是2，
解-x²+3x+4=2，得x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
∴點P的坐標為（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到用待定系數法求拋物線的解析式、拋物線上點的坐標特征、等腰三角形的性質、矩形的性質、解一元二次方程、勾股定理等知識，有一定的綜合性，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關鍵，根據矩形的性質將EF轉化為OD，然后利用垂線段最短是解決第（3）小題的關鍵．