Question

7．如圖，在?ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長AE、CF分別交CD、AB于點G、H．
（1）求證：四邊形AGCH是平行四邊形；
（2）當(dāng)DE=2，F(xiàn)H=$\frac{3}{2}$時，求BH的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明CG∥AH，AG∥CH即可．
（2）先證明△DEG≌△BFH得BH=DG，再在Rt△DEG中，利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∵AG⊥BD，CH⊥BD，
∴AG∥CH，
∴CG∥AH，AG∥CH，
∴四邊形AGCH是平行四邊形．

（2）∵四邊形AGCH是平行四邊形，
∴CG=AH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DG=BH，∠GDE=∠HBF，
在△GDE和△HBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠HBF}\\{∠DEG=∠HFB}\\{DG=BH}\end{array}\right.$，
∴△GDE≌△HBF，
∴GE=HF=$\frac{3}{2}$，DG=BH，
在Rt△DGE中，∵∠DEG=90°，DE=2，GE=$\frac{3}{2}$，
∴DG=$\sqrt{D{E}^{2}+G{E}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴BH=DG=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的判定方法和性質(zhì)，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．