Question

15．在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），點B和點D的坐標分別為（m，0），（n，4），且m＞0，四邊形ABCD是矩形．
（1）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，求m，n的值；
（2）在圖2中，畫出矩形ABCD，簡要說明點C，D的位置是如何確定的，并直接用含m的代數(shù)式表示點C的坐標；
（3）探究：當m為何值時，矩形ABCD的對角線AC的長度最短．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠ADE=∠BAO，即可判斷出△ABO≌△ADE，得出DE=OA=3，AE=OB，即可求出m；
（2）先根據(jù)垂直的作法即可畫出圖形，判斷出△ADE≌△CBF，得出CF=1，再判斷出△AOB∽△DEA，即可得出OB=$\frac{3}{m}$，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出BD⊥x軸時，求出AC的最小值，再求出DM=2，最后用勾股定理求出AE即可得出m．

解答 解：（1）如圖1，過點D作DE⊥y軸于E，
∴∠AED=∠AOB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ADE=∠BAO，
在△ABO和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠DEA=90°}\\{∠BAO=∠ADE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ADE，
∴DE=OA，AE=OB，
∵A（0，3），B（m，0），D（n，4），
∴OA=3，OB=m，OE=4，DE=n，
∴n=3，
∴OE=OA+AE=OA+OB=3+m=4，
∴m=1；

（2）畫法：如圖2，①過點A畫AB的垂線l₁，
過點B畫AB的垂線l₂，
②過點E（0，4），畫y軸的垂線l₃交l₁于D，
③過點D畫直線l₁的垂線交直線l₂于點C，
所以，四邊形ABCD是所求作的圖形，

過點C作CF⊥x軸于F，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABO+∠CBF=90°，
∴∠BCF=∠ABO，
同理：∠ABO=∠DAE，
∴∠BCF=∠DAE，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CFB=90°}\\{∠DAE=∠BCF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE=BF=n，AE=CF=1，
易證△AOB∽△DEA，
∴$\frac{OA}{DE}=\frac{OB}{AE}$，∴$\frac{3}{n}=\frac{m}{1}$，
∴n=$\frac{3}{m}$，
∴OF=OB+BF=m+$\frac{3}{m}$，
∴C（m+$\frac{3}{m}$，1）；

（3）如圖3，由矩形的性質(zhì)可知，BD=AC，
∴BD最小時，AC最小，
∵B（m，0），D（n，4），
∴當BD⊥x軸時，BD有最小值4，此時，m=n，
即：AC的最小值為4，
連接BD，AC交于點M，過點A作AE⊥BD于E，
由矩形的性質(zhì)可知，DM=BM=$\frac{1}{2}$BD=2，
∵A（0，3），D（n，4），
∴DE=1，
∴EM=DM-DE=1，
在Rt△AEM中，根據(jù)勾股定理得，AE=$\sqrt{3}$，
∴m=$\sqrt{3}$，即：
當m=$\sqrt{3}$時，矩形ABCD的對角線AC的長最短為4．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關鍵是△ABO≌△ADE，解（2）的關鍵是△ADE≌△CBF和△AOB∽△DEA，解（3）的關鍵是作出輔助線，是一道中考�？碱}．