Question

7．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ=PQ，PR=PS，則結(jié)論：①PA平分∠RPS；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．其中正確的有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線判定定理即可推出①，根據(jù)勾股定理即可推出②AR=AS，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出③QP∥AB即可；無法證明△BRP≌△CSP故④錯誤．

解答 解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，故①正確，
∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR²=AP²-PR²，AS²=AP²-PS²，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正確；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正確；
在△BRP和△CSP中，缺少全等條件，故④錯誤，
故選B．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．