Question

8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y鈾的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC的形狀；
（3）已知點M為線段AB上方拋物線上的一個動點，請寫出△ABM面積關(guān)系式，并求出當(dāng)△ABM面積最大時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可解決問題．
（2）通過計算證明：BC²+AB²=AC²，利用勾股定理的逆定理即可判斷．
（3）如圖，設(shè)M（m，-m²+2m+3）連接OM、MB、MA，根據(jù)S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△AOB，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{-\frac{2a}=1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解該方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點C（1，4），
∵A（3，0），B（0，3），
∴AB=3$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{2}$，
∵BC²+AB²=2+18=20，AC²=20，
∴BC²+AB²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形．

（3）如圖，設(shè)M（m，-m²+2m+3）連接OM、MB、MA．
∵S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△AOB，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×3×（m+-m²+2m+3）-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時，△ABM面積的最大值為$\frac{27}{8}$．此時點M坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、勾股定理的逆定理、兩點間距離公式、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．