Question

4．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E為點B關(guān)于直線AC的對稱點，連接EB、ED．
（1）求∠BED的度數(shù)；
（2）過點B作BE的垂線交EA的延長線于點F，請補全圖形，并證明DE=AC+BF．

Answer 1

分析 （1）如圖，設(shè)直線AC與BE交于N，由點E為點B關(guān)于直線AC的對稱點，得到AN⊥BE，BN=EN，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BO=DO，于是得到AN∥EM，即可得到結(jié)論；
（2）延長BA交DE于M，連接FM，由于BF∥AN∥EM，根據(jù)平行線等分線段定理得到FA=AE，BA=AM，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，設(shè)直線AC與BE交于N，
∵點E為點B關(guān)于直線AC的對稱點，
∴AN⊥BE，BN=EN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=DO，
∴AN∥EM，
∴DE⊥BE，
∴∠BED=90°，

（2）如圖，過點B作BE的垂線交EA的延長線于點F，過點F作BF∥AN，延長BA交DE于M，連接FM，
∵BE⊥BF，AN⊥BE，BE⊥DE，
∴BF∥AN∥EM，
∵BN=EN，
∴FA=AE，BA=AM，
∴四邊形BFME是平行四邊形，
∴EM=BF，
∵AC∥DM，CD∥AM，
∴四邊形ACDM是平行四邊形，
∴DM=AC，
∴DE=EM+DM=AC+BF．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形的中位線定理，熟練掌握平分線等分線段定理是解題的關(guān)鍵．