Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-0.5x+2與坐標軸分別交于A，B兩點，動點P從A點出發(fā)沿折線AO-OB-BA運動，點P在AO，OB，BA上運動的速度分別為2，1，$\sqrt{5}$（長度單位/秒），點E同時從O點出發(fā)沿OB以$\frac{1}{3}$（長度單位/秒）的速度運動，直線EF∥x軸交BA于點F，設運動時間為t秒，當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時，點P和點E同時停止運動，請解答下列問題：
（1）用t表示點P在不同線段上的坐標及t的取值范圍；
（2）作點P關于直線EF的對稱點，在運動過程中，若以P，E，P′，F(xiàn)形成的四邊形是菱形，則求t的值；
（3）點P在OA上時，以P，E，F(xiàn)三點為頂點的三角形能否成為直角三角形？若能，則求出所有可能的時間t；若不能，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)速度×時間=路程，求出點P運動的路程是多少，進而用t表示點P在不同線段上的坐標；然后根據(jù)路程÷速度=時間，求出點P在每條線段上的運動時間，求出t的取值范圍即可；
（2）首先求出E、F以及它們的中點的坐標；然后判斷出在運動過程中，若以P，E，P′，F(xiàn)形成的四邊形是菱形，則點P和EF的中點的橫坐標相同，據(jù)此判斷出這樣的t是否存在即可；
（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當∠EFP=90°時；②當∠EPF=90°時；③當∠PEF=90°時；求出所有可能的時間t，使得以P，E，F(xiàn)三點為頂點的三角形成為直角三角形．

解答 解：∵y=-0.5x+2，
∴A（4，0）、B（0，2），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}{+2}^{2}}=2\sqrt{5}$；
（1）①當點P在AO上運動時，
∵4÷2=2（秒），
∴0＜t≤2，
∴點P在AO上的坐標是（4-2t，0），0＜t≤2；
②當點P在OB上運動時，
∵2÷1=2（秒），
∴2＜t≤4，
∴點P在AO上的坐標是（0，t-2），2＜t≤4；
③當點P在BA上運動時，如圖1，
，
∵$2\sqrt{5}$÷$\sqrt{5}$=2（秒），
∴4＜t≤6，
∴點P在AO上的坐標是（4-2t，0）；
∵$\frac{CP}{OA}=\frac{BP}{BA}=\frac{\sqrt{5}（t-4）}{2\sqrt{5}}=\frac{t-4}{2}$，OA=2，
∴CP=2（t-4）=2t-8；
∵$\frac{DP}{BO}=\frac{AP}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{5}（t-4）}{2\sqrt{5}}=\frac{6-t}{2}$，BO=2，
∴DP=6-t；
∴點P在BA上的坐標是（2t-8，t-6），4＜t≤6；

（2）OE=$\frac{1}{3}t$，
由$\frac{1}{3}t=0.5x+2$，
解得x=$\frac{2}{3}t-4$，
∴F（$\frac{1}{3}t，\frac{2}{3}t-4$），
∴EF的中點M（$\frac{1}{3}t-2，\frac{1}{3}t$），
①當點P在AO上運動時，如圖2，
，
要使在運動過程中，若以P，E，P′，F(xiàn)形成的四邊形是菱形，
則4-2t=$\frac{1}{3}t-2$，
解得t=2$\frac{4}{7}$，
∵2$\frac{4}{7}＞2$，
∴當點P在AO上運動時，t不存在；
②當點P在BA上運動時，如圖3，
，
要使在運動過程中，若以P，E，P′，F(xiàn)形成的四邊形是菱形，
則2t-8=$\frac{1}{3}t-2$，
解得t=3.6，
∵3.6＜4，
∴當點P在BA上運動時，t不存在；
綜上，可得
不存在t，使在運動過程中，若以P，E，P′，F(xiàn)形成的四邊形是菱形．

（3）①如圖4，
，
當∠EFP=90°時，
4-2t=$\frac{2}{3}t-4$，
解得t=$\frac{1}{3}$；
②如圖5，
，
當∠EPF=90°時，
$\frac{\frac{1}{3}t-0}{0-（4-2t）}•\frac{\frac{1}{3}t-0}{（\frac{2}{3}t-4）-（4-2t）}=-1$，
解得t=$\frac{120±12\sqrt{2}}{49}$，
∵$\frac{120+12\sqrt{2}}{49}＞2，\frac{120-12\sqrt{2}}{49}＞2$，
∴不存在這樣的t．
③如圖6，
，
當∠PEF=90°時，
點P運動到點O，
此時t=2；
綜上，可得
當t=$\frac{1}{3}$或t=2時，以P，E，F(xiàn)三點為頂點的三角形能否成為直角三角形．

點評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力；解答此題的關鍵是．
（2）此題還考查了行程問題中速度、時間和路程的關系：速度×時間=路程，路程÷時間=速度，路程÷速度=時間，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直角三角形的性質，以及菱形的性質，要熟練掌握．