Question

11．如圖，已知A（n，-2），B（1，4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個交點，直線AB與y軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關系式；
（2）求△AOB的面積；
（3）直接寫出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由點B的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出m的值，從而得出反比例函數(shù)關系式；由點A在反比例函數(shù)圖象上利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出n的值，再由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的關系式；
（2）令一次函數(shù)解析式中x=0，求出y值從而得出點C的坐標，通過分割圖形利用三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關系，結合兩函數(shù)的交點橫坐標，即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵點B（1，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的關系式為y=$\frac{4}{x}$；
∵點A（n，-2）在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴4=-2n，解得：n=-2，
∴點A的坐標為（-2，-2）．
∵點A（-2，-2）、點B（1，4）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-2k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的關系式為y=2x+2．
（2）令y=2x+2中x=0，則y=2，
∴點C的坐標為（0，2），OC=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×2×[1-（-2）]=3．
（3）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當x＜-2或0＜x＜1時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，
∴不等式2x+2-$\frac{4}{x}$＜0的解集為x＜-2或0＜x＜1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關鍵是：（1）求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）分割圖形求三角形面積；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關系解不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，再結合點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關鍵．