Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交軸于另一點C，點D是拋物線的頂點.

（1）求此拋物線的解析式．

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一點，（不與點A、B重合），過點P作軸的垂線交軸于點H，交直線AB于點F，作PG⊥AB于點G，若△PFG的周長最大，求P點的坐標

（3）在拋物線上是否存在除點D以外的點M，使得△ABM與△ABD的面積相等？ 若存在，請求出此時點M的坐標，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）P（，）；（3）M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．

 

【解析】

試題分析：（1）將已知點的坐標代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；

（2）首先根據(jù)△PFG是等腰直角三角形，設(shè)P（，）得到F（，），進而得到PF=，從而得到△PFG周長為：，配方后即可確定點P的坐標；

（3）當DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等時，根據(jù)同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等，分別求得直線DM1解析式為：和直線M3M2解析式為：，聯(lián)立之后求得交點坐標即可．

試題解析：（1）∵直線AB：與坐標軸交于A（﹣3，0）、B（0，3），

代入拋物線解析式中，得：，解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形，設(shè)P（，），∴F（，），

∴PF=，

△PFG周長為：=，

∴當時，△PFG周長的最大值，而當時，，∴P（，）；

（3）點M有三個位置，如圖所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面積等于△ABD的面積．

此時DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等，

∵D（﹣1，4），∴E（﹣1，2）、則N（﹣1，0）

∵中，k=1，∴直線DM1解析式為：，直線M3M2解析式為：，

∴或，

∴，，，，

∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．

考點：二次函數(shù)綜合題．